Деепричастия не выделяются запятыми, если...

 Не выделяются деепричастие и обороты на письме, если

деепричастный оборот является фразеологизмом

Мальчик спешил сломя голову, чтобы позвать на помощь спасателей.

Ребята трудились не покладая рук.

Вот некоторые из таких фразеологизмов: 

спустя рукава, едва переводя дыхание, кричать не переводя духа, мчаться высунув язык,
лежать уставясь в потолок, сидеть затаив дыхание, работать засучив рукава, метаться не помня себя, слушать развесив уши 

Некоторые деепричастные фразеологические сочетания выступают в роли вводных, тогда они обособляются.

По совести говоря, выполнить упражнение можно было гораздо качественнее.

Судя по всему, можно уже отправляться в путь.

-если перед деепричастным оборотом находится усилительная частица И.

Можно было об это сообщить и не начиная ссориться.

Скромный человек остается скромным и победив сильного врага.

Ты можешь идти домой и не дожидаясь результата экзамена.

-если деепричастный оборот разрывается словом, входящим в состав придаточного предложения либо в состав простого предложения. Обычно это касается придаточных определительных предложений с союзным словом который.

Налево была дверь, выйдя через которую возможно было попасть в гримерную.

На ель Ворона взгромоздясь, позавтракать было совсем уж собралась, да призадумалась… (И. А. Крылов).

Но рабскую верность Шибанов храня, своего отдает воеводе коня (А. К. Толстой).

- когда деепричастие  утрачивает свое глагольное значение, тогда оно не выделяется запятыми.

Слоны спят стоя. Она вошла в комнату улыбаясь.

Обычно в таких случаях деепричастие  можно опустить без ущерба для смысла предложения.

Вузы принимают абитуриентов по новым правилам начиная с конца прошлого года (слово начиная можно опустить, структура и смысл предложения не изменятся).

К заданию можете приступать начиная с завтрашнего дня (слово начиная можно опустить, структура и смысл предложения не изменятся).

Однако если оборот со словом начиная не связан с понятием времени или служит для уточнения, пояснения, то он обособляется.

Все казалось нам подозрительным, начиная с его интонации (слово начиная нельзя опустить, структура и смысл предложения изменятся).

Капитан, начиная с Крымской войны, участвовал во всех военных операциях, кроме японской (слово начиная нельзя опустить, структура и смысл предложения изменятся).

Обороты исходя из и смотря по в большинстве случаев не входят в деепричастную конструкцию и не обособляются.

Задание составлено исходя из ваших пожеланий.

Будем поступать смотря по обстоятельствам.

-если деепричастный оборот выступает вместе с обычным необособленным обстоятельством и они являются однородными.

 В этом случае деепричастный оборот не выделяется запятыми.

Мы научим вас решать примеры и задачи с легкостью и не прибегая к справочникам.

Мальчишка побежал быстро и  не оглядываясь.

Подпоручик отвечал по-военному и не смущаясь.

Однако в данном случае обособление возможно, если автор хочет поставить смысловой акцент или дать попутное объяснение.

Немного виновато и всхлипывая, мать попрощалась с Алешей.

В темном небе, устало и не сверкая, появились желтенькие капельки звезд 
(М. Горький).
(По материалам Издательства "Лицей")