Зиждиться и зыбиться

 Интересный глагол зиждиться. А интересен он тем, что оканчивается на -ить,

но не относится ко второму спряжению, как подобные глаголы.

Этот глагол является глаголом-исключением и присоединяется к глаголам-исключениям брить и стелить.

Почему же о нем не упоминается в школьной программе?

Думаю, ответ достаточно прост: этот глагол из числа редких, устаревших и даже больше книжных слов, которые малоупотребительны в нашей современной речи, например, как и глагол зыбиться.

Итак, глагол ЗИЖДИТЬСЯ относится к первому спряжению (и "зыбиться" тоже).

Есть еще одна особенность у глагола зиждиться: он употребляется только в форме третьего лица  - зиждется, зиждутся.

В формах слов «зиждившись, зиждившийся, зиждившиеся, зиждившихся, зиждившимся, зиждившимися» после буквы «ш» произносится звук «ы», но на письме он обозначается буквой «и».

ЗЫБИТЬСЯ 
(зыблюсь, зыблешься, 1 и 2 л. не употр.), зыблется; несов. Появляться (о зыби), колебаться. Тихо зыблется рожь.

ЗИЖДИТЬСЯ (зиждусь, зиждешься, 1 и 2 л. не употр.), зиждется, зиждутся; зиждущийся; несовершенный вид, на чём (высок.). Основываться на чём-нибудь, опираться на что-нибудь Сила бойцов зиждется на вере в победу. (Словарь Ожегова)